1. Да се намери при какви стойности на параметъра а неравенството x2 + 8ax + (8a – 1)(2a + 1) > 0 е вярно за всяка реална стойност на х. (ВВУАПО – 1995 Г.)

2. За кои стойности на реалния параметър k неравенството (k – 4)x2 + 10x + k – 4 < 0 е изпълнено за всяко х. (МГУ – 1997 г.)

3. Да се намерят всички стойности на m, за които f(x) і 0 за всяко цяло число x, където f(x) = x2 – 2mx + 8. (СУ – 1997 г. – първи изпит)

4. Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които всяко отрицателно число х удовлетворява неравенството (ШУ – 1991 г.)

5. Да се намерят стойностите на реалния параметър m, за които неравенството mx2 + (m + 1)x + m > 0 е изпълнено за всяко х > 1.

6. Да се намерят всички стойности на m, за които f(x) і 0 за всяко цяло число x, където f(x) = x2 – 2mx + 8. (Вт.У – 1998 г.)

7. В уравнението x2 + (a + 2)x + 2a +2 = 0 да се определи параметърът а така, че сборът от кубовете на корените му да бъде минимален. Да се реши квадратното уравнение за определените стойности на а. (ВУЗ –УНСС – 1976 Г.)

8. Дадено е квадратното уравнение x2 + (2k + 1)x + 9 = 0, където k е реално число.
а) Да се определи множеството А от онези стойности на k, за които корените x1 и x2 удовлетворяват неравенството x > 1;
б) Да се намери най – малката стойност, която приема изразът при изменението на k в множеството А. (УНСС – 1979 г.)

9. Даден е квадратният тричлен f(x) = tx2 – 4(t + 2)x + 3t + 26, където
t № 0 е реален параметър.
а) За кои стойности на t уравнението f(x) = 0 няма реални корени?
б) Нека уравнението f(x) = 0 има корени x1 и x2. Изразете като функция на параметъра t . Пресметнете , ако x1 + x2 = 12. (Лесотехнически – 2003 г.)

10. Да означим с х1 и х2 корените на уравнението
x2 + (m – 2)x – m + 2 = 0, където m е реален параметър.
а) Да се намерят стойностите на m, за които е изпълнено равенствата
б) Да се реши неравенството x2 + (m – 2)x – m + 2 Ј 0 за стойност на m, равна на по – големия от корените на уравнението
4m-2 – 5.2m-2 + 1 = 0. (Лесотехнически – 1993 г.)

11. Определете стойностите на параметъра а, при които корените х1 и х2 на уравнението са такива, че (ВУЗ – ТУ – ГАБРОВО – 2002 Г)

12. Дадено е уравнението x2 - 2(a +2)x + 3a2 + 5a - 2 = 0,
където а е реален параметър. Да се определят стойностите на а, за които уравнението има два различни неотрицателни корена. (ВУЗ – ТУ – 2004 Г.)

13. Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които корените х1 и х2 на квадратното уравнение х2 + 2ах + 3 = 0 са реални и различни, а числото 2х1 – х2, |х1- х2| и 2х2 – х1, взет в този ред, образуват аритметична прогресия. (ВУЗ – УНИВЕРСИТЕТИ - ПЛОВДИВСКИ – ВТОРИ ИЗПИТ – 2005 )

14. Да се определи а от уравнението x2 + (a – 3)x + 1 – 2a = 0, ако за корените му х1 и х2 е в сила равенството . (ВУЗ – УНИВЕРСИТЕТИ - СУ – 1962 Г. – ВТОРИ ДОПЪЛНИТЕЛЕН ИЗПИТ)

15. Дадено е уравнението x2 – x + m = 0. Да се намери параметърът m така, че ако х1 и х2 са корени на даденото уравнение, да е изпълнено условието . (ВУЗ – УНИВЕРСИТЕТИ - СУ – 1964 Г )

16. В квадратното уравнение x2 – 3(k + m)x + k + 2m2 (4k + 1)m = 0 m е функция на k, определена по такъв начин, че единият от корените на уравнението е два пъти по-голям от другия. Да се реши квадратното уравнение за онези стойности на k і 0 и m, при които m като функция на k има максимум. (ВУЗ – УНИВЕРСИТЕТИ - СУ – 1967 Г)

17. Да се намерят стойностите на параметъра a (a № 0), за които корените на квадратното уравнение ax2 + 2x - a - 2 = 0 са положителни. (ВВИСУ – „БЛАГОЙ ИВАНОВ” – 1996 Г.)

18. За кои стойности на реалния параметър m уравнението
(m + 3,5)x2 - (2m – 3)x + m = 0 има реални и положителни корени? (Минно – геоложки университет - 2005 г.)

19. Да се докаже, че при всяка реална стойност на параметъра m корените х1 и х2 на уравнението
(m2 – m + 2)x2 – (2m2 – 2m + 5)x + m2 – m + 2 = 0 са положителни, и да се пресметне изразът (ВУЗ – УНИВЕРСИТЕТИ - СУ – 1968)

20. Да се намерят реалните стойности на параметъра а, така че корените на уравнението x2 - ax + 2 = 0 да са различни и да се намерят в интервала [0; 3]. (ВВСУ – „БЛАГОЙ ИВАНОВ” – 1994 Г.)

21. Да се намери при какви стойности на параметъра m единият корен на квадратното уравнение f(x) = mx2 + (7m + 4)x – 4 = 0 се намира в интервала (1; 2), а другият е по – голям от 2. (ВУЗ – УНИВЕРСИТЕТИ - СУ – 1961 – ВТОРИ ДОПЪЛНИТЕЛЕН ИЗПИТ)

22. Да се определи за кои стойности на параметъра m уравнението
(m – 1)x2 +3x – 2m – 3 = 0 има корени с различни знаци. (Лесотехнически – 2004 г.)